Théorie de la Viabilité
Régulation
de l’Évolution de Systèmes de Réseaux
et Morphogenèse des Contraintes sous Incertitude
Contingente et
Tychastique
Synthèse
1.
Objectifs
L'objet de
la théorie de la viabilité
est d'expliquer mathématiquement et
numériquement les évolutions gouvernées par des « systèmes
évolutionnaires »,
qui apparaissent en économie,
en sciences cognitives, en théorie
des jeux, en biologie,
etc., aussi bien qu’en automatique. De
tels systèmes ne sont pas
déterministes, mais
régissent sous incertitude contingente,
tychastique ou stochastique des évolutions
soumises à des contraintes
de viabilité
(ou d’optimalité intertemporelle) et guident ces
évolutions vers des cibles afin de les atteindre en temps fini.
Il s’agit
essentiellement de faire
émerger les rétroactions sous-jacentes qui permettent de
réguler le
système et de trouver des mécanismes
de sélection pour
les mettre en œuvre.
1.
En
résumé, les
objectifs de la théorie de la viabilité consistent
à concevoir et
développer des
outils mathématiques et numériques
permettant d’étudier les évolutions régies par des
systèmes évolutionnaires non
déterministes
2.
continues,
discrètes ou impulsionnelles par
rapport
au temps,
3.
contraintes
à s’adapter
à un environnement
(défini comme un ensemble de variables soumises à des
contraintes de
viabilité),
4.
évoluant
sous incertitude contingente,
tychastique ou stochastique,
5.
utilisant
pour ce faire des commandes, des régulons
(paramètres de régulation), parmi lesquels des matrices
ou tenseurs
connexionnistes dans le cas de l’évolution des réseaux,
6.
gouvernées
par des lois de régulation
(ou de
rétroaction) que la théorie caractérise, et parmi
lesquelles on peut
sélectionner des évolutions spécifiques (lentes,
lourdes, inertes, minimisant
des critères intertemporels, etc.),
7.
co-évoluant
avec leurs environnements
(viabilité mutationnelle et
morphologique),
8.
corrigées lorsque la
viabilité est en défaut, en introduisant par exemple des
« multiplicateurs de
viabilité »
ou des « matrices
de connexion » dans les systèmes
évolutionnnaires,
9.
ou en
remplaçant son environnement initial par son noyau de
viabilité,
qui est l’ensemble des états initiaux d’où part au moins une évolution viable dans l’environnement
prescrit, indéfiniment ou jusqu’à l’instant fini
où elle atteint une cible
donnée.
Ces
techniques mathématiques utilisent par exemple les inclusions
différentielles (avec
mémoire) ; le calcul différentiel
des correspondances (analyse multivoque
et dans les espaces
métriques, analyse
mutationnelle) ; la théorie du
contrôle et des jeux
différentiels, l’analyse numérique et
algorithmique multivoque ;
les équations
morphologiques gouvernant l’évolution de
formes et permettant
d’analyser la co-évolution des variables et des
contraintes ; les
inclusions différentielles impulsionnelles
(hybrides
de temps continu/temps discret) ; l’optimisation inertielle (mesurant
a priori les échelles de temps ou d’inertie) ;
l’algèbre et la
dynamique tensorielles pour étudier l’évolution des
réseaux et minimise la complexité
connexionniste. Ces domaines fournissent pour
l’instant les
bases mathématiques de la « théorie de
la viabilité » (dynamique sous
contraintes). Les membres du réseau de recherche
« Viabilité-Jeux-Contrôle » sont
à l’origine ou ont contribué au
développement de ces spécialités, et
figurent parmi les auteurs des premières monographies
consacrées aux
inclusions différentielles (1984), à l’analyse multivoque
(1990), à la théorie
de la viabilité (1991), à l’analyse qualitative (1995) et
à l’analyse
mutationnelle et morphologique (1999). Ils sont également des
auteurs de notes
de cours sur les "approches viabilistes" de la théorie du
contrôle
(2001), des systèmes impulsionnels (2000), des jeux
différentiels (2000) et de
l’analyse numérique multivoque (2000).
2.
Motivations
Les membres
du réseau de recherche
« Viabilité-Jeux-Contrôle »
ont collaboré pendant plus de 20 ans avec des chercheurs
d’autres disciplines
(économistes, agronomes, halieutes, démographes,
biologistes, spécialistes des
neuro-sciences, etc.) pour étudier les systèmes
évolutionnaires partageant des
propriétés de même nature à un certain
niveau d’abstraction motivés par
·
Les
sciences économiques et
financières,
premières motivations de cette théorie, où les
contraintes de viabilité sont
les diverses contraintes de rareté ou contraintes
budgétaires. Des
logiciels d’évaluation et de gestion dynamique
de portefeuilles basés sur la
théorie
de la viabilité sont en cours d’intégration dans le
logiciel Episys de la compagnie
Américaine
EpiSolutions Inc.
·
Les
réseaux et réseaux de réseaux dynamiques,
où les
coalitions d’acteurs agissent sur un environnement qui décrit
l’architecture de
ces réseaux,
·
La gestion
de ressources renouvelables (recherches menées
en
collaboration avec le CEMAGREF, le CIRAD et l’IRD en
halieutique),
·
Les sciences
sociales, où les sociétés sont
représentées par des groupes d’agents soumis à des
contraintes de sociabilité,
et dont les actions autonomes sont régulées par des
régulons culturels,
·
Les sciences de
l’environnement, où les
problèmes de co-évolution de plusieurs variables avec des
inerties et des
constantes de temps très différentes, doivent être
couplées,
·
La dynamique des
populations, où les
contraintes de viabilité sont de nature écologique,
·
La morphogenèse
biologique et d’autres domaines de la biologie
du
développement ou de l’évolution, immense réservoir
de problèmes qui peuvent
être traités avec l’analyse mutationnelle et morphologique,
·
Les sciences
cognitives, où se posent de
nombreux problèmes de viabilité à
différents niveaux d’investigation, du
neurone aux réseaux de neurones,
·
L’analyse
numérique multivoque, qui
permet de
calculer noyaux de viabilité et
bassins
de capture de cibles ainsi que les
lois de rétroaction par
l’Algorithme de
Viabilité,
·
Les
problèmes de propagation de front et
d’évolution
d’ensembles,
· L’automatique
et les jeux différentiels,
qui fournissent également une source 
abondante
de problèmes qui ont motivé le
développement
de la théorie de la viabilité :
stabilité, atteignabilité
(en
temps fini ou asymptotique), optimisation intertemporelle,
viabilité
(contraintes sur l’état) et capturabilité,
observabilité et estimations
multivoques, battement
borné
(bounded chattering)
peuvent être formulés en termes de noyaux de
viabilité et bassins de capture. Ces études ont
été utilisées dans des
modules de pilotage et de guidage du
« glisseur » (glider) sous-marin, dont un
prototype réalisé
par l’ENSIETA (sous la
responsabilité de Nicolas Seube a fait
l’objet de tests
en mer, en attendant 
un second
prototype qui sera utilisé en 2005 lors de campagnes
océanographiques
hauturières. Ce glisseur
est un sous-marin entièrement autonome
(drone) et de très grande endurance (environ 1500 km
pour un
engin de 50 kg) à propulsion passive qui utilise de
larges surfaces portantes à la
manière d’un planeur (pour
transformer les
forces de gravité et de poussée
d’Archimède en
force propulsive). Elles ont été également
utilisées pour calculer l’enveloppe de sécurité
pour l'atterrissage d'un DC9-30 (voir figure) pour Boeing (Seatle) et
d’autres études pour la NASA Ames.
3.
Énoncés
de Quelques Problèmes
a.
Propriétés de viabilité et de capturabilité
Les évolutions
sont définies
comme des fonctions du temps, que ce temps soit discret
(« étapes »
qui sont des nombres entiers), continu
(« instants » qui sont des
nombres réels), ou un hybride des deux pour prendre en compte
des « impulsions ».
Ces fonctions associent à chaque instant un
élément d’un ensemble, qui peut
être fini (grilles dans le cadre des approximations
numériques), un espace
vectoriel de dimension finie (de vecteurs décrits par un nombre
fini de
composantes), ou infinie (espace de fonctions de variables spatiales,
ou de fonctions
décrivant
l’histoire passée d’évolutions), ou un
espace de formes
dans le cadre morphologique. On convient d’appeler « espace
d’états » un tel espace dans
lequel vont évoluer les
« variables d’état».
On
étudie alors des ensembles
d’évolutions vérifiant un certain nombre de
propriétés prescrites : Par
exemple, évolutions stationnaires ou d’équilibre (qui …
n’évoluent pas),
évolutions périodiques, évolutions le long
desquelles croît ou décroît une
fonction d’observation, ou le long desquelles une fonction
d’observation suit
une évolution exogène, ou
encore les
multiples propriétés de
« stabilité » qui ne seront pas
décrites ici
de façon explicite, etc. Nos
recherches
ont été focalisées sur les
·
propriétés
de viabilité, où
l’ensemble prescrit est celui des
« évolutions viables »
dans un sous-ensemble de l’espace des états défini par
des contraintes de
viabilité, qui décrit l’environnement
dans lequel les évolutions doivent rester
confinées,
·
propriétés
de capturabilité d’une cible
contenue dans un environnement, où
l’ensemble prescrit est celui des évolutions atteignant la cible en temps fini,
ou prescrit,
au lieu de les atteindre asymptotiquement,
puisque ce qui se passe à long terme n’est pas toujours
pertinent dans
les sciences du vivant,
·
diverses
combinaisons de ces propriétés.
La
propriété de viabilité a été
motivée
dès le début (1976) par « la
nécessité » de s’adapter à un
environnement dans le cas de l’évolution biologique, par
l’obligation de
respecter les contraintes de rareté ou budgétaires en
économie et en finance,
l’obligation de se plier aux
contraintes de sociabilité en sociologie, de percevoir et
reconnaître
les variations des actions sur l’environnement pour s’y adapter en
sciences
cognitives, etc. Elle est présente « en
creux » dans le concept de
« principe précaution » dans les questions
de développement durable.
La notion d’environnement est évidente en automatique.
b.
Systèmes Évolutionnaires
Un système
évolutionnaire
associe à tout état initial un ensemble d’évolutions de
variables d’état
partant de cet état. Il est dit « déterministe » si à chaque état initial
correspond une et
une seule évolution (dont on peut
étudier la dépendance continue, mais plus ou moins
sensible en fonction de
l’état initial). Les systèmes déterministes sont
souvent décrits par des
équations différentielles ou des inclusions
différentielles monotones. On
s’attache surtout à l’étude des systèmes non
déterministes, qui associent à
chaque état initial plusieurs
évolutions de variables d’état. Ces
évolutions peuvent
dépendre de celles de plusieurs autres variables
distinguées selon les
rôles distincts qu’elles vont jouer :
1.
variables
cybernétiques, qui
paramètrent des évolutions potentielles ; Parmi ces
variables figurent les
a.
variables
de commande
(en automatique), sur lesquelles agissent des acteurs,
décideurs, etc.,
b. variables
de
régulation (« régulons »)
lorsqu’aucun acteur identifié n’agit sur elles,
2.
variables d’incertitude
qui peuvent
être de deux sortes :
a.
variables
« aléatoires »
lorsque l’incertitude bénéficie de
régularité statistique, comme dans le cas
des systèmes
stochastiques associés
à des mouvements browniens,
b.
variables
« tychastiques »
(de Tyche, Déesse grecque de la chance, pris au sens
d’évolution tychastique
proposé par Charles Peirce à la fin du XIXème siècle), lorsque les tyches (perturbations) n’obéissent plus
à des
régularités statistiques (événements
extrêmes), mais sont seulement soumis à
des « bornes » qui peuvent dépendre de
l’état dans lequel se situe le système.
Les
états sont par exemple, les
phénotypes en biologie, les biens économiques en économie, les comportements des individus en
sociologie, les états
sensori-moteurs
en sciences cognitives. Les états
évoluent en fonction de régulons qui seront
par exemple les génotypes en
biologie, les prix
en économie, les
codes
culturels en sociologie et les
concepts en sciences cognitives.
En automatique, les variables d’état décrivent les
composantes du
système et les variables cybernétiques les commandes
(controls). Les systèmes
« contrôlés »
(commandés, régulés) sont des
systèmes évolutionnaires paramétrés par des
variables de commande. Les jeux différentiels sont
des systèmes évolutionnaires paramétrés
à la fois par des variables
cybernétiques et par des variables tychastiques, qui jouent des
rôles
différents. Les systèmes stochastiques
contrôlés sont eux paramétrés par des
variables cybernétiques et par des aléas.
c.
Noyaux de Viabilité et Bassins de Capture
Étant
donnés
un ensemble d’évolutions prescrites et un système
évolutionnaire,
il est naturel d’étudier
1.
dans le cas
cybernétique,
l’ensemble
des états initiaux à partir desquels part au moins
une évolution associée à
celle d’une variable cybernétique et
vérifiant les propriétés
prescrites,
2.
dans le cas
incertain,
l’ensemble des
états initiaux à partir desquels les évolutions
vérifient la propriété
prescrite, quels
que soient les aléas dans le cas stochastique
ou les tyches
dans le cas tychastique (on démontre à ce propos que pour
déterminer ces
ensembles de conditions initiales, le cas stochastique est un exemple
(très)
particulier du cas tychastique),
3.
dans le cas
mixte cybernétique/incertain,
l’ensemble des états initiaux à partir desquelles il existe au
moins une variable
cybernétique pour laquelle les évolutions
associées à chaque aléa ou tyche
vérifient la propriété prescrite.
Lorsque la
propriété prescrite est celle de viabilité dans un
environnement, ces ensembles
de conditions initiales sont appelés respectivement noyaux de
viabilité, noyaux d’invariance et
noyaux de viabilité garantie (voir figure).
Les objets
classiques de l’étude des systèmes dynamiques
(équilibres, trajectoires
d’évolutions périodiques, ensembles limites de
trajectoires (attracteurs) sont
des exemples d’ensembles viables, dont on peut poursuivre
l’étude avec ces
nouveaux outils. L’attracteur est par exemple contenu dans le noyaux de
viabilité rétrograde, comme dans le cas de l’attracteur
de Lorenz (voir
figure).
Lorsque la
propriété prescrite est
celle de capturabilité en temps fini d’une cible, ces ensembles
sont respectivement
qualifiés de bassins
de capturabilité, bassins d’absorption et bassins de
capturabilité garantie.
Leur étude mathématique, algorithmique et
numérique et leurs applications
diverses ont constitué jusqu’à présent les
objectifs principaux de la théorie
de la viabilité.
Lorsque les
environnements et les cibles sont des
graphes de fonctions, les noyaux de viabilité et les bassins de
capture sont
également des graphes de fonctions, dont on démontre
qu’elles sont solutions
d’équations aux dérivées partielles
non-linéaires. C’est ainsi que les noyaux
de viabilité et les bassins de capture s’ajoutent à la
panoplie d’outils
mathématiques pouvant être utilisés pour
résoudre certains problèmes aux
limites et/ou de viabilité pour des systèmes
d’équations aux dérivées
partielles.
Il est
d’autre part possible de mesurer
le temps passé par une évolution dans un ensemble (mesures
occupationnelles de cet ensemble)
ou dans son complémentaire (fonctions de crise)
à l’aide de noyaux de
viabilité et de bassins de
capture. Ils servent également à caractériser
l’ensemble des états futurs
atteints à partir d’un état initial, ce qui est un
problème central de
l’automatique.
Dans de
nombreux problèmes, les états
initiaux ne sont pas connus : Seuls sont à notre
disposition un ensemble
de mesures
(d’observations
ou de prédictions),
prises en temps continu ou
discret par un petit nombre de senseurs. Il s’agit alors de
déterminer quels
sont les états initiaux à partir desquels partent des
évolutions satisfaisant à
chaque instant ces mesures et comment les réguler. Ce sont des
problèmes de
viabilité ou les environnements dépendent du temps, de
même nature que les
problèmes de filtrage, d’identification de paramètres et
de problèmes
inverses. Le cas où contraintes et
systèmes évolutionnaires dépendent aussi de
l’histoire passée des évolutions et
non seulement des états de l’évolution à l’instant
initial a été étudié dès le
début des travaux sur la viabilité, malgré les
difficultés techniques qu’exige
ce cas bien plus général.
d.
Lois de Régulation des
Systèmes
Dans les
cas cybernétiques et
cybernétiques/incertains, on cherche non seulement les
états initiaux, mais
également les correspondances
de régulation associant à chaque
état initial l’ensemble des
commandes ou des régulons qui gouvernent les
évolutions devant satisfaire les
propriétés de viabilité et/ou de
capturabilité prescrites (voir
figure donnant la correspondance de régulation de la direction
d’un robot
devant atteindre en temps minimal la cible rouge en évitant les
obstacles
noirs). Ces correspondances sont
étudiées théoriquement et calculées
numériquement, et sont l’objet de théorèmes
mathématiques difficiles.
La taille
de ces correspondances de régulation
fournit une mesure de la robustesse ou de la
résilience de la
viabilité d’un environnement par
rapport au système évolutionnaire auquel il est
confronté. Les dérivées de cette
correspondance (c’est à propos de ce
problème qu’a été
inventé en 1980 le calcul différentiel des
correspondances qui a par la suite
joué un rôle important dans le développement de
l’analyse multivoque) révèlent
les propriétés de changement
de structure du système évolutionnaire
sous-jacentes
nécessaires au maintien de la viabilité. Tant que la
vitesse nulle appartient à
la dérivée de la
correspondance de
régulation, on peut maintenir constante la variable
cybernétique (commande ou
régulon), tandis que le changement de cette variable s’impose
dès que la
vitesse nulle cesse d’y appartenir. C’est alors
qu’apparaît ce que l’on pourrait appeler une « crise de
viabilité »
et « l’émergence
de nouveaux régulons », crise
d’autant plus importante
que les vitesses des variables cybernétiques sont
élevées. Il se peut même
qu’elles deviennent infinies, auquel cas on doit recourir à des impulsions
sur les variables cybernétiques et, dans des cas extrêmes,
sur les variables
d’état elles-mêmes. Il s’agit alors de mesurer a
priori à chaque instant initial la
plus grande des
vitesses futures des commandes ou des régulons
nécessaires au maintien de la
viabilité par une fonction
d’inertie qui procure
ainsi une mesure des « coûts de
transition » (voir figure).
Leur étude permet également de savoir où et
quand apparaîtront
les crises de viabilité.
d.
Le Principe d’Inertie
Le
principe d'inertie énonce
que les régulons n'évoluent que lorsque la
viabilité est en jeu. Ces
régulons, génotypes, prix, codes culturels et
concepts dans les exemples cités,
laissés à eux-mêmes,
auront
donc tendance à demeurer constants durant certaines
périodes, ce qui n'interdit
pas aux états du système d'évoluer. Le principe
d'inertie explique ainsi le
phénomène d'équilibre intermittent (punctuated
equilibrium) introduit en 1972
par Nils Eldredge et Stephen J. Gould en paléontologie pour
décrire les
discontinuités des témoignages de l'évolution des
espèces, ou l’apparition de
crises historiques selon Jean-Baptiste Duroselle.
Cela ne
suffit pas encore à réduire complètement
l'incertitude : il faut découvrir des mécanismes qui obéissent à ce principe
d'inertie. Le plus simple consiste à
choisir parmi tous les régulons viables celui qui a la plus
petite vitesse, le
plus paresseux. Les évolutions viables correspondantes sont
qualifiées de lourdes (voir
figure, le régulon est en rouge et l’évolution lourde en
bleu).
On
introduit alors le concept de niche de
viabilité d'un
régulon, qui est l'ensemble des états
de départ d’évolutions
viables régulées par ce régulon lorsqu'il est
maintenu constant. Si la niche de
viabilité d'un régulon est vide, le régulon devra
être changé tôt ou tard afin
que l'état du système respecte les contraintes de
viabilité. Sinon, partant de
la niche de viabilité d'un régulon, au moins une
évolution régie par le système
évolutionnaire peut évoluer
dans cette
niche en conservant le régulon initial. En respectant le
principe d'inertie,
les régulons ne se mettent en mouvement que lorsqu'une
« crise de
viabilité » survient, et ce, jusqu'à ce que la
viabilité soit rétablie.
Lorsque l'évolution lourde d'un état le conduit dans la
niche de viabilité d'un
régulon, alors ce dernier devient constant et l'état
demeure à jamais dans sa
niche, qui « accroche »
(lock-in en anglais) cette évolution.
En sélectionnant des évolutions
viables lourdes, par exemple, on
fait donc émerger de la confrontation de la dynamique d'un
système et des
contraintes qui lui sont imposées un mécanisme
d'évolution opportuniste,
conservateur et paresseux.
e.
Échelles d’Inertie
C’est
à ce sujet que se posent les
problèmes d’échelles
d’inertie et de temps. On cherche d’abord les
situations où
les régulons demeurent constants, puis celles où les
régulons sont linéaires
par rapport au temps, puis quadratiques, puis polynomiaux de
degrés successifs.
Chaque situation correspond au cas où les dérivées
des régulons sont nulles
jusqu’à un certain ordre, condition qui décrit une
échelle donnée d’inertie, et
donc une
hiérarchisation en zones d’inertie
décroissante. La recherche de ces
zones répond à une autre
préoccupation apparue en automatique sous le label de
« quantisation ». Comme la recherche des
rétroactions est difficile
et nécessite de nombreux calculs, il s’agit d’isoler les cas
où commandes et
régulons dépendent d’un (petit) nombre fini de
paramètres (un dans le cas des
régulons constants, deux dans celui des régulons
linéaires, trois dans le cas
de régulons quadratiques, etc.) En effet, la recherche des
rétroactions
(servomécanismes, feedbacks) statiques et dynamiques revient
à rechercher les
sélections (univoques) de ces correspondances de
régulation et de leurs
dérivées respectivement. Cela peut exiger de coûteux calculs.
Ce n’est
pas ce qui se fait dans la
pratique actuelle de l’automatique. En effet, dans le cadre des
systèmes
linéaires dans lequel se sont développés
les concepts et les techniques de l’automatique et de la
théorie des
systèmes, ces
rétroactions sont
simples et de nombreuses méthodes ont été mises au
point depuis les débuts de
l’automatique pour en donner des formules analytiques.
Il est ensuite implicitement et parfois
explicitement admis que ces mêmes rétroactions peuvent
être valides dans le cas
de systèmes « voisins » de systèmes
linéaires, sans véritables
garanties mathématiques. On peut concilier l’usage conjoint de
ces deux points
de vue, en cherchant les noyaux de viabilité des
rétroactions classiques et déjà
couramment utilisées dans l’industrie, puis
les utiliser comme cibles et chercher
alors des feedbacks non linéaires qui y conduisent en temps fini
pour utiliser
ensuite les servomécanismes classiques. Cette stratégie
est également suivie
dans le cadre des systèmes issus du vivant et des
systèmes cognitifs, lorsque
certaines tâches ou programmes sont
appris et que le maintien de la viabilité ou l’accomplissement
de tâches se
décomposent en une suite
« planifiée » de tâches
routinières
successives. Ce thème de recherche a récemment
émergé dans diverses théories de
l’apprentissage.
f.
Analyse Qualitative Dynamique
Dans un
même ordre d’idées, on peut
diviser l’environnement en plusieurs cibles, considérées
comme des cellules qualitatives
décrivant certaines propriétés qualitatives des
variables d’état. Le problème
se pose d’étudier l’ensemble des conditions initiales
d’où part au moins une
évolution visitant ces cellules dans un ordre prescrit à
l’avance. Par exemple,
si l’ensemble est divisé en deux cellules, on cherche le
« bassin de fluctuation »,
ensemble des états initiaux à partir desquels une
évolution fluctue sans cesse
entre les deux cellules (voir figure dans le cas des systèmes chaotiques de Lorenz). On peut
également caractériser la propriété de
chaos à la Saari : Chercher les
conditions initiales telles que quel que soit l’ordre de visite, il
existe au
moins une évolution visitant ces cellules dans cet
ordre. :es problèmes
concernent les « évolutions en salve »
(bursting) que l’on observe
dans de nombreux domaines physiologiques (influx nerveux, par exemple)
sont de
même nature. Les noyaux de
viabilité de
systèmes en temps discret peuvent être des ensembles de
Cantor (voir figure du
noyau de viabilité du système logistique).
g.
Réseaux et Jeux Coopératifs Dynamiques
La
structuration en
réseaux (et réseaux de réseaux) est une
caractéristique commune des grands
systèmes adaptatifs complexes (on peut considérer un
système social comme un
système de cerveaux, puis un cerveau comme un réseau de
neurones, un neurone
comme un réseau de canaux ioniques, etc.) Ces réseaux
évoluent en obéissant à des
contraintes architecturales. De tels systèmes adaptatifs
peuvent être
modélisés comme systèmes
a)
possédant
des récepteurs, des
effecteurs et des unités
intermédiaires pour percevoir,
interpréter et propager
l’information
b)
et soumis à
des contraintes de viabilité.
La question
fondamentale est de comprendre comment un système adaptatif
peut réguler ses évolutions à différentes
échelles de temps et à différents
niveaux hiérarchiques pour s’adapter aux contraintes de
viabilité. C’est
particulièrement le cas lorsque des opérateurs
connexionnistes et des
coalitions d’acteurs sont impliqués et doivent s’adapter aux
contraintes durant
leur évolution avant d’atteindre des cibles en temps fini ou
prescrit, ouvrant
la voie à une théorie des jeux coopératifs
dynamiques. Des rétroactions
(feedbacks) fournissent a
posteriori
la structure des opérateurs connexionnistes et, parmi ceux-ci,
ceux qui
minimisent un indicateur de complexité connexionniste. Ils révèlent que pour
maintenir viable l’architecture des
réseaux, les régulons des niveaux supérieurs d’une
organisation hiérarchique
évoluent plus lentement que ceux des niveaux inférieurs
(cascades inertielle de
régulons) et en fonction de « messages »
émis par les niveaux
inférieurs (multiplicateurs
de viabilité).
h.
Analyse Mutationnelle
Les formes,
tout comme les images, sont des ensembles, qui n’ont rien de
régulier. Par suite, leur analyse, leur traitement, leur
évolution, leur
optimisation et/ou leur régulation exigent naturellement une
analyse
intrinsèque, qui a motivé le développement
de l’analyse multivoque et celui
de l’analyse mutationnelle. Il a fallu pour cela adapter le calcul
différentiel
à des espaces métriques de formes, et en fait, à
tout espace métrique lorsqu’il
est muni d’une structure mutationnelle. Cela permet en particulier de
définir
des vitesses d’évolutions d’ensembles, et par suite,
d’équations
« morphologiques », sortes d’équations
différentielles régissant
l’évolution d’ensembles. On peut étudier la
co-évolution (évolution
conjointe) de variables d’états et
de
leurs environnements, ce qui joue un rôle crucial en
morphogenèse où le confinement des formes
les oblige à évoluer en respectant des contraintes. On
peut également utiliser
d’autres concepts de l’analyse multivoque et de la théorie de la
viabilité
stochastique pour des problèmes de propagation de fronts.
i.
Systèmes impulsionnels et hybrides
Les
problèmes impulsionnels apparaissent dans de
nombreux domaines, en gestion, dans le cadre de la gestion des
stocks ; en
finance, pour la gestion de prêts ou l’évolution de
portefeuilles, dans le
cadre des dynamiques «multi-phases » introduites par
R. H. Day ; en
neurosciences pour étudier la propagation de l'influx nerveux
au-delà de
l'approximation de Hodgkin-Huxley dans des neurones
considérés comme des
réseaux de canaux membranaires, dont l'ouverture évolue
de façon
discontinue ; et surtout, en théorie du contrôle,
dans le cadre des
problèmes de contrôle hybrides. Toutes
ces questions peuvent être posées dans le cadre de systèmes
impulsionnels
gouvernés par un système évolutionnaire
régissant les «motifs » continus
et par une correspondance de réinitialisation (voir figure
d’évolutions
impulsives permettant d’atteindre la cible rouge soit en marchant, soit
en
prenant le métro dans une ville traversée par des ponts).
Confrontés à des
contraintes de viabilité, on peut rétablir la
viabilité en changeant de façon
discontinue les conditions initiales. Il est alors possible de
résumer les
évolutions d'un système impulsionnel en
caractérisant la correspondance
fournissant la prochaine impulsion et la prochaine valeur initiale
comme
solution d'un problème de frontière libre pour un
système d'inclusions aux dérivées
partielles du premier ordre.
j.
Stabilité asymptotique
Les notions
de
stabilité au sens de Liapounov, de variétés
locales stables ou instables,
celles d’hétéroclines ou de fluctuations,
d’évolutions en salves, etc., peuvent
se formuler en termes de noyaux de viabilité. Il en est de
même des attracteurs
dont on démontre qu’ils sont contenus dans l’intersection des
noyaux de
viabilité positifs et négatifs, ce qui permet de les
localiser au lieu de les
approcher par des trajectoires. La recherche des fonctions
de Liapounov ou
de Zubov, si utiles pour étudier la stabilité
asymptotique de systèmes
contrôlés et leur régulation stabilisante, se
ramène à l’étude de noyaux de
viabilité spécifiques. Ceci permet de calculer ces
fonctions et leurs domaines
(qui sont des bassins d’attraction), ainsi que les évolutions le
long
desquelles elles décroissent.
k.
Contrôle Optimal
La
programmation dynamique à la Bellman utilise les
dérivées des «fonctions
valeur »
(fonction de coût optimal) de nombreux problèmes
d’optimisation intertemporelle
classiques ou émergents. Cela permet d’obtenir la loi de
régulation régissant
l'évolution des solutions optimales. On démontre que
leurs solutions sont
obtenues en calculant des noyaux de viabilité ou des bassins de
capture lorsque
les environnements et les cibles sont des épigraphes de
fonctions associés à
des systèmes auxiliaires convenablement choisis. Les algorithmes
du noyau de
viabilité et du bassin de capture permettent de calculer les fonctions valeur et les
rétroactions
gouvernant les évolutions optimales. De plus,
les théorèmes caractérisant les noyaux de
viabilité et bassins de capture montrent que ces solutions sont
les uniques
solutions généralisées d’équations
d’Hamilton-Jacobi-Bellman (et d’Isaacs dans
le cas de jeux différentiels), au sens des solutions
contingentes ou, de façon
équivalente et duale, des « solutions de
viscosité ».
l.
Analyse numérique multivoque et
algorithmes de viabilité
La
recherche d'algorithmes pour calculer noyaux de
viabilité et bassins de capture, ainsi que les
rétroactions pour calculer les
évolutions viables, a été abordée à
plusieurs niveaux et adaptée aux différents
problèmes au fur et à mesure de leur apparition. Les
ensembles de Julia par
exemple sont des noyaux de
viabilité
que l’algorithme calcule exactement ainsi que les solutions qui sont
viables
sur la frontière, ce que ne permet pas le calcul direct des
évolutions (voir figure). Cela a nécessité
une « analyse numérique
multivoque » qui consiste à manipuler
informatiquement des ensembles et
les opérations sur ces ensembles.
L’implantation de l’algorithme requiert beaucoup de
mémoire, et traite
des problèmes en dimension 5 avec les ordinateurs de bureau. La
conception
d’algorithmes moins gourmands en mémoire, mais
moins
précis ou plus longs est
l’objet d’actives recherches.
m. Contributions
aux sciences
économiques et financières
On peut
aller
au-delà des notions d'équilibre général et
de tâtonnement walrassien en
replaçant de nombreux modèles économiques dans le
cadre dynamique de systèmes
régulés (par les prix et autres variables fiduciaires et
/ou des matrices de
connexion) soumis à des contraintes de rareté. On
construit alors des lois
guidant la main invisible d'Adam Smith, prenant en compte des comportements
myopes aussi
bien que des anticipations (rationnelles ou non). Il s'agit ensuite
d'intégrer
dans ce cadre les aspects de la régulation monétaire, la
prise en compte, tant
dans les dynamiques que dans les contraintes, des conséquence
cumulées des
choix antérieurs et de l'articulation avec les évolutions
démographiques et les
contraintes écologiques.
Le thème du développement
«soutenable à long terme,
intégrant
non seulement les objectifs économiques et sociaux, mais aussi
des contraintes
de «durée » écologique, pose de
nombreuses questions qui ont motivé la
conception et l’étude de techniques de la théorie de la
viabilité. C’est le cas
en particulier de la coexistence d’évolutions avec
échelles d’inertie
différentes, plus lourdes pour les évolutions biologiques
que pour les
évolutions économiques. Les contraintes d'équité
intergénérationnelle et
intertemporelle (au coeur des modèles
concernant tant les
problèmes de sécurité sociale que les
problèmes écologiques concernant le
bien-être des générations futures) imposent des
contraintes sur chaque classe
d'âge, bridant les
possibilités
d'évolution démo-économique viable et posant le
problème du transfert de
certains biens dans le temps ou entre les générations. Il s’agit d’étendre les
problèmes de
viabilité au systèmes d’équations aux
dérivées partielles dont l’origine se
trouve dans les équations de Lotka-McKendrik.
Les outils
de la
théorie de la viabilité permettent
de
résoudre de nombreux problèmes d'évaluation et de
gestion d’actifs financiers,
qui requièrent à la fois des contraintes sur la richesse
(valeur des
portefeuilles, par exemple) et l’obtention à terme de contrats
(voir figure
donnant la valeur d’une option « tout ou rien »
et la règle de
gestion du portefeuille), pour des dynamiques incertaines,
stochastiques ou
plus généralement, tychastiques. Puisque ce
sont en ces termes que sont posés de nombreux
problèmes de finance, les
concepts de noyaux de viabilité et de bassin de capture en temps
prescrit jouent un rôle naturel et
offrent une
alternative aux méthodes à la Black et Sholes.
n.
Systèmes cognitifs et Mécanismes
d’Apprentissage
Au-delà
des réseaux
de neurones, les systèmes cognitifs sont basés sur des
mécanismes de
reconnaissance de l'environnement dans le but de s'y adapter
grâce à des mécanismes
d'apprentissage.
Au lieu de modéliser le codage de la connaissance par des poids
synaptiques de
réseaux de neurones divers et variés et de retrouver
ainsi les lois d’apprentissage de Hebb,
on peut représenter les diverses
manifestations de l'activité cognitive par des fonctions
associant à chaque
instant le débit de neurotransmetteurs dans chaque synapse. Les
évolutions de
ces fonctions peuvent être déclenchées par la
perception sensorielle (exogène
ou endogène), ou par les activités propres du
système cognitif, et peuvent être
comparées les unes aux autres par mécanismes de
reconnaissance. Si la
reconnaissance n'est pas effectuée, se déclenchent alors
des actions cognitives
endogènes ou exogènes (motrices) sur l'environnement dont
les conséquences, une
fois perçues, rétablissent la reconnaissance, et par
suite, l’adaptabilité de
l’organisme à son environnement. De ce point de vue, certains
problèmes
d’apprentissage se formulent dans le cadre de problèmes de
viabilité
(adaptation) et de capturabilité (apprentissage de tâches).
o.
Complexité connexionniste et
structurelle
Les
multiplicateurs
de viabilité et les matrices connexionnistes permettent de
corriger des
systèmes évolutionnaires lorsque la
propriété de viabilité n’est pas
satisfaite, permettant de rendre compte de certains aspects de la
complexité,
comme la complexité structurelle ou la complexité
connexionniste. Il est également
possible de repérer les
puits de paysages d’énergie qui présentent une multitude
de minima d’énergie
locaux, de construire les dynamiques intrinsèques qui permettent
d’atteindre
leur sommet et celles qui conduisent à
un minimum global d’énergie.
4.
Perspectives
Ces
théories ont été développées en
interaction avec l’automatique et
divers domaines des sciences du vivant. Nous nous sommes
efforcés de
concevoir et de
fabriquer des outils mathématiques
spécifiques pour résoudre
quelques-uns des problèmes posés lorsque le transfert des
outils mathématiques
souvent motivés par la physique ne nous semblait pas
satisfaisant. L’usage des
mathématiques n’est d’ailleurs pas seulement quantitatif, mais
aussi de nature qualitative et explicative. Il
ne peut être exclusivement remplacé par les simulations
massives offertes par
les progrès infiniment plus rapides des technologies de calcul.
Il s’agit aussi
de poser de nouvelles questions. Enfin, et
de façon imprévue, les outils
mathématiques développés dans le cadre de la
théorie de la viabilité, conçus pour les
systèmes impliquant le vivant,
se sont avérés efficaces en
automatique
et dans certains domaines des mathématiques et de la physique.
C’est le cas de
la programmation dynamique non
seulement de problèmes de contrôle optimal en horizon fini
ou infini, mais de
problèmes de temps d'arrêt, de
temps de crise,
de valuation d'options
financières (qui relèvent des
problèmes de cibles), de
solutions (avec chocs) de systèmes d’équations aux
dérivées partielles du premier
ordre, d’un nouvel éclairage sur les divers aspects chaotiques
des systèmes non
linéaires (attracteurs étranges, fluctuation,
quasi-équilibres, propriétés de
Cantor ou fractales de systèmes discrets).
Ces
défis posés par l’analyse des systèmes du vivant
requièrent en effet
de nouvelles techniques mathématiques, qui ne sont pas
nécessairement plus
difficiles que celles motivées par les sciences
physico-chimiques, mais peuvent être
différentes, car les questions le sont. Poser
ces questions
sans tenir compte des techniques disponibles est d’ailleurs un
défi majeur.
Ceci complique le dialogue avec les spécialistes des sciences
biologiques,
cognitives, humaines et sociales, qui sont d'autant plus incités
à privilégier
le court terme et l’usage de techniques de simulation au
détriment des études
qualitatives à long terme. Les outils mathématiques que
nous avons contribué à
forger, bien loin de répondre à ces défis,
s’inscrivent cependant dans cette
perspective. Il reste à en inventer beaucoup d’autres. C’est une
tâche que nous
souhaitons continuer, avec l’aide de chercheurs de toutes disciplines.
Pour
plus de détails, voir AUBIN
J.-P., BAYEN A., BONNEUIL N. & SAINT-PIERRE P. (à
paraître,
Springer-Verlag)
Viability, Control and Games:
Regulation of
Complex Evolutionary Systems
Under
Uncertainty and Viability Constraints
et pour une
version non mathématique, AUBIN J.-P, (à
paraître, Beauchesne)
La
mort du devin, l’émergence du démiurge